Bài Tập Toán Thực Tế Lớp 12 (Mô Hình Mới)

Phần 1: Bài toán tối ưu hóa và ứng dụng đạo hàm

Bài 1: Tối ưu chi phí sản xuất

Một xưởng sản xuất dự định làm những chiếc thùng hình trụ có nắp đậy với thể tích là V = 2π m3. Giá vật liệu làm mặt đáy và mặt nắp là 100.000 đồng/m2, còn giá vật liệu làm mặt xung quanh là 80.000 đồng/m2.

  1. Gọi r là bán kính đáy của hình trụ. Hãy biểu diễn chi phí sản xuất C theo r.
  2. Tìm bán kính đáy r sao cho chi phí sản xuất là thấp nhất. Tính chi phí thấp nhất đó.

Bài 2: Lợi nhuận tối đa từ việc bán sản phẩm

Một công ty ước tính rằng khi sản xuất x (đơn vị) sản phẩm thì tổng chi phí là C(x) = 2x2 + 80x + 3200 (nghìn đồng). Giá bán của mỗi sản phẩm phụ thuộc vào số lượng sản xuất theo hàm p(x) = 200 - x (nghìn đồng/sản phẩm).

  1. Xác định hàm số biểu diễn tổng doanh thu khi bán x sản phẩm.
  2. Xác định hàm số biểu diễn lợi nhuận thu được khi sản xuất và bán x sản phẩm (biết lợi nhuận = doanh thu - chi phí).
  3. Công ty cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để đạt được lợi nhuận tối đa? Lợi nhuận tối đa đó là bao nhiêu?

Phần 2: Bài toán liên quan đến lãi suất và tăng trưởng

Bài 3: Gửi tiết kiệm ngân hàng

Chị An gửi số tiền 200 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất ban đầu là 6%/năm.

  1. Nếu lãi suất không thay đổi, sau 5 năm chị An nhận được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu tiền?
  2. Giả sử sau 2 năm đầu, lãi suất giảm xuống còn 5.5%/năm. Hỏi sau 5 năm (kể từ lúc gửi ban đầu), chị An nhận được tổng số tiền là bao nhiêu?
  3. Nếu chị An muốn sau 5 năm nhận được ít nhất 300 triệu đồng, và lãi suất trong suốt 5 năm đó là 6%/năm, thì ban đầu chị An cần gửi ít nhất bao nhiêu tiền (làm tròn đến triệu đồng)?

Phần 3: Bài toán hình học không gian ứng dụng

Bài 5: Xây dựng bể bơi

Một bể bơi gia đình có hình dạng là một hình hộp chữ nhật với chiều dài đáy là 10m, chiều rộng đáy là 6m và chiều cao là 1,5m.

  1. Tính thể tích nước tối đa mà bể có thể chứa.
  2. Người ta muốn lát gạch bên trong lòng bể (mặt đáy và các mặt xung quanh). Biết rằng mỗi viên gạch hình vuông có cạnh 20cm và giá mỗi viên gạch là 15.000 đồng. Tính tổng chi phí mua gạch (bỏ qua phần vữa và hao hụt).
  3. Sau khi đổ đầy nước vào bể, người ta đặt vào đó một quả bóng bơm hơi hình cầu có đường kính 1m (quả bóng nổi hoàn toàn trên mặt nước). Tính thể tích nước bị quả bóng chiếm chỗ.

Phần 4: Bài toán xác suất và thống kê ứng dụng

Bài 7: Kiểm tra chất lượng sản phẩm

Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỉ lệ sản phẩm lỗi là 5%. Trước khi xuất xưởng, mỗi lô hàng gồm 20 bóng đèn được chọn ngẫu nhiên để kiểm tra.

  1. Tính xác suất để trong một lô hàng được kiểm tra có đúng 1 bóng đèn bị lỗi.
  2. Tính xác suất để trong một lô hàng được kiểm tra có ít nhất 2 bóng đèn bị lỗi.
  3. Giả sử một khách hàng mua ngẫu nhiên 3 bóng đèn từ một lô hàng rất lớn (coi như việc lấy không làm thay đổi tỉ lệ lỗi của lô hàng). Tính xác suất để cả 3 bóng đèn khách hàng mua đều không bị lỗi.